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确界存在定理为什么能说明实数是连续的

  所谓实数的连续性指的是,对于实数集R的任意分割所产生的两个新数集A和B中,要么A有最大值,要么B有最小值.或者换句话说,分割的这一点要么属于A,要么属于B,不可能一个都不属于.

  用确界原理证明连续性,不妨假设对实数的一组分割A/B中,A没有最大值,只要证明B有最小值就证明了连续性.当然你假设B中没有最小值,去证明A中一定有最大值也是可以的.

  因为A是非空并且有上界的,B中每个元素都是A的上界,根据确界原理,A有上确界.设上确界为ξ,显然ξA,因为如果ξ∈A,那么ξ就是A中最大值,和前提矛盾.

  现证明ξ是B中最小值.如果不是这样,不妨设B中存在一个数ηξ,取ε=(ξ-η)/20,根据上确界的定义,ξ-ε=(ξ+η)/2不再是A的上界,也就是说A中存在某个数x,x(ξ+η)/2.

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