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确界存在定理如何证明?

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  知道合伙人教育行家采纳数:6343获赞数:131134本人毕业于河西学院计算机系,本科学位,自2008年毕业以来任九年级数学教师至今。向TA提问展开全部区间套定理证明问题就是构造区间列去套就可以.就说一下有上界数集如何证有上确界,下界类似.

  ①对于数集X,如果它有上界M,就构造闭区间列U[n],U[1]=[a[1],M],a[1]是任意一个数,只要使得U[1]∩X≠就可以.U[2]这样构造,如果(a[1]+M)/2到M之间有X中的数,就令U[2]=[(a[1]+M)/2,M]否则等于[a[1],(a[1]+M)/2].U[3]构造类似,就是再把U[2]一分为二,右半边如果有X中的数就等于右半区间,否则等于左半区间.就这样一直构造下去,所有的U[n]都是递减区间列,根据闭区间套定理,它们必有一个公共元素m.

  1)先说如果m就是集合X中的元素,那么假设X中还有比m大的m,上述构造方法总会到最后总会有一个集合U[i]不包含m的,和m是公共元素矛盾了.这个比较好证明,就不写具体过程了.这样m在X中,而且X中还没有比m更大的数,显然m是X中的最大数,自然是上确界(根据上确界定义可知).

  2)m不在X中.先证明m任意小邻域里面有X中的数.还是反证法,假设可以找到一个δ0,使得[m-δ,m+δ]里面没有X中的数,那由于区间U[n]长度可以任意小,只要n足够大.所以总能找到一个U[j]使得U[j]长度小于δ,但所有U都包含m,于是U[j]包含于[m-δ,m+δ]中,但是[m-δ,m+δ]中没有X中元素,意思是U[j]里面就没有X中元素,和一开始约定的U[n]构造规则矛盾,所以m任意邻域都有X中数.再证X中的数不可能比m大.还是反证法,和1)完全类似。

  设M为R中有上界的子集,则M在R中有上确界,即M在R中全体上界所组成的集合有最小元。

  证:令M在R中全体上界所组成的集合为A’,令A=RA’,则(A,A’)为R的一个分划。由实数连续性定理,或者A有最大元,或者A’有最小元。因为A中任一元素a都不是M的上界,故存在M中某一元素,使得a<m。由有理数在实数中的稠密性,存在a1使得a<a1<m,所以a1∈A,于是A无最大元,因而A’一定有最小元,即M在R中有上确界。

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