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请教2个小问题微积分的

  2.一个函数f,如果有原函数,(即是另一个函数的导函数),那么这个函数f是未必可积的,因为可能无界

  你第二次给出的例子,我想g并不是连续的。你观察在点x=23处右端的情况就知道了。而且一个函数不连续,还是有可能可积的。所以你最后一句复合函数fg在A1上不连续,因而不可积,是没有根据的。

  注1:实变函数Riemann可积的充要条件是不连续点的测度为0。本定理一般出现在在实变函数课程中。但徐森林的《数学分析》教材中有证明。可去图书馆参考。

  注2:证明的思想是,f(u)的连续点依然是f(g(x))的连续点;故f(g(x))的不连续点只能在f(u)的不连续点上。讨论f(u)的不连续点的定义域,可知,f(g(x))的不连续点的测度为0

  2008-09-14展开全部在下是个外行,关于第一个问题不知道这个想法作为例子行不行:

  g是内函数,单调的把类康托集映为康托集。把类康托集的余集映为康托集的余集。

  令A1=A-U1-U2-U3-U4-...-Un-...是A上的类康托集,其中U1,U2...是按长度从大到小排列(长度相同时按从左到右顺序)的从A里挖去的开区间。

  于是定义A1的余集A2到B1的余集B2上的映射g使得Vn-Un是一个一次函数。对于A1-B1,注意到A1中的点a是所有大于a的Un的并集Ua的下确界,定义它在映射g下的像为Ua的像Va的下确界。

  于是这样的g是一个连续映射,并且把类康托集B1映为康托集A1.复合函数fg在A1上不连续,因而不可积。

  如同你说的,可积必定要说明区间范围,我这里选取区间(0,+&)是符合条件的

  第二个问题好像有点傻,原函数就是该函数积分得来的,怎么还会有未必可积的问题呢,

  比如f=x,是无界函数,但他还是可积的,原函数为F=x^2/2,函数是否可积与是否有节无关,极限才与是否有界有关

  展开全部对于第一个问题,我敢肯定不存在这样的反例,即一个外函数可积,内函数连续,得到的复合函数一定Riemann可积。证明只要利用Lebesgue给的Riemann可积充要条件:f(x)Riemann可积的充要条件是在积分区间上测度为零。

  对于第二个问题:确实存在这样的反例,一个函数既有原函数,又有界,但是Riemann不可积。原因该函数只存在第二类间断点且测度为一个正测度集。反例构造须利用实变函数中Cantor集构造,很复杂。只需了解有这么回事就行了。

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